2026年河南省中考数学试卷解析

2026-08-10 (UTC+8)未分类MP

河南省2026年初中学业水平考试数学试卷及参考答案

本文整理了河南省2026年初中学业水平考试数学试卷的全部题目及参考答案。

使用说明（第一次来必看）

每道题下方都会有一条下划线（选择题、填空题）或虚线框（解答题），里面藏着答案，点击即可显示，再点一次不会隐藏；

也可以点击文章顶部的「显示所有答案」按钮一键展开全部答案，再点「隐藏所有答案」即可全部收起；

本套试卷整体难度偏低（多数为基础题），因此本文只提供参考答案，不提供详细解析。如果哪道题看了答案还是不明白，欢迎在评论区留言提问。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 某地一天早晨的气温是 $-3\,^\circ\text{C}$ ，到中午升高了 $5\,^\circ\text{C}$ ，则中午的气温是

A. $-3\,^\circ\text{C}$ 　　B. $-2\,^\circ\text{C}$ 　　C. $2\,^\circ\text{C}$ 　　D. $5\,^\circ\text{C}$

2. 今年我国六五环境日的主题为"全面绿色转型，共建美丽中国"。将"共建美丽中国"这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与"建"字所在面相对的面上的汉字是

A. 美　　B. 丽　　C. 中　　D. 国

3. 下列调查中，适宜用全面调查（普查）的是

A. 检查某载人飞船的零部件质量
B. 检测一条河流的水质情况
C. 了解某市区中学生的课外阅读时间
D. 调查一批玉米种子的发芽率

4. 已知 $x=2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2 - mx = 6$ 的一个根，则 $m$ 的值为

A. $5$ 　　B. $-5$ 　　C. $1$ 　　D. $-1$

如图， $\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 关于直线 $l$ 对称， $\angle C=90^\circ$ ， $AC=8$ ， $BC=6$ ，则 $A'B'$ 的长为

A. $6$ 　　B. $8$ 　　C. $10$ 　　D. $12$

6. 如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知 $AB \parallel CD$ ， $\angle 1 = 50°$ ， $\angle 2 = 30°$ ，则 $\angle 3$ 的度数为

A. $90°$ 　　B. $80°$ 　　C. $70°$ 　　D. $60°$

7. 下列式子中，运算结果为 $x^2 - 4$ 的是

A. $(x-2)^2$ 　　B. $(x+2)(2-x)$ 　　C. $(x+2)(x-2)$ 　　D. $x(x-4)$

8. 2026年3月，我国自主研发的 SYT80（T1200级）超高强度碳纤维发布。SYT80 超高强度碳纤维拉伸强度突破 $8 \times 10^3$ 兆帕，普通钢材的拉伸强度约为 $8 \times 10^2$ 兆帕。数据" $8 \times 10^3$ "是" $8 \times 10^2$ "的

A. $2$ 倍　　B. $5$ 倍　　C. $8$ 倍　　D. $10$ 倍

9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $OABC$ 的边 $OC$ 在 $x$ 轴上，对角线 $OB$ 、 $AC$ 交于点 $P$ ， $OA = 2$ ， $OC = 4$ 。将矩形 $OABC$ 向左平移，当点 $P$ 的对应点落在 $y$ 轴上时，点 $A$ 的对应点的坐标为

A. $(-2,\,2)$ 　　B. $(-2,\,1)$ 　　C. $(0,\,2)$ 　　D. $(0,\,1)$

C

10. 团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意"团圆友善"。已知扇面边缘为 $\odot O$ ，扇柄所在直线经过圆心 $O$ ，过扇柄端点 $P$ 作 $PA$ 、 $PB$ 分别与 $\odot O$ 相切于点 $A$ 、 $B$ ，得到 $\overset{\frown}{AB}$ 。若 $\odot O$ 的半径为 $9\,\text{cm}$ ， $\angle APB = 60°$ ，则小红想要装饰的 $\overset{\frown}{AB}$ 的长为

A. $3\pi\,\text{cm}$ 　　B. $6\pi\,\text{cm}$ 　　C. $9\pi\,\text{cm}$ 　　D. $27\pi\,\text{cm}$

二、填空题（每小题3分，共15分）

11. 请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数表达式________。

$y = x$ （答案不唯一）

12. 方程 $\dfrac{2}{x+1} = \dfrac{1}{x}$ 的解为________。

$x = 1$

13. 如图， $AB$ 为 $\odot O$ 的直径， $C$ 、 $D$ 为 $\odot O$ 上两点， $\angle ADC = 40°$ ，则 $\angle CAB$ 的度数为________。

$50°$

14. 在钢琴键盘的一部分中，从 $F$ 、 $G$ 、 $A$ 、 $B$ 四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为________。

$\dfrac{1}{2}$

15. 如图，在 $\triangle ABC$ 中， $AB = AC = 5$ ， $BC = 6$ ， $CD$ 是角平分线，点 $E$ 为边 $BC$ 上一点，连接 $AE$ ，交 $CD$ 于点 $F$ ，连接 $BF$ 。若 $AE = 2\sqrt{5}$ ，则 $BF$ 的长为________。

$2\sqrt{2}$ 或 $\dfrac{10\sqrt{2}}{3}$

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.（10分）

(1) 计算：

(3 - \pi)^0 - 2^{-1} + \sqrt{\dfrac{1}{4}}

原式 $= 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$

(2) 解不等式组：

\begin{cases} 3x - 1 \leqslant 2, & \textcircled{1} \\ 2x + 5 \geqslant x + 3. & \textcircled{2} \end{cases}

i）解不等式①，得________。

ii）解不等式②，得________。

iii）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来。

iv）所以，原不等式组的解集是________。

i） $x \leqslant 1$

ii） $x \geqslant -2$

iii）数轴表示：解集为 $-2 \leqslant x \leqslant 1$ 对应的部分

iv） $-2 \leqslant x \leqslant 1$

17.（9分）

某校科创社团组装了甲、乙两个投篮机器人，分别进行了10组测试（每组投篮10次，以投进次数作为测试成绩）。

(1) 表中 $a$ 的值为________， $b$ 的值为________， $s_1^2$ ________ $s_2^2$ （填">""="或"<"）。

(2) 你认为科创社团应选哪个投篮机器人参加青少年科技创新大赛？请说明理由。

(1) $a = 7$ ， $b = 9$ ， $s_1^2 < s_2^2$

(2) 应选甲投篮机器人。因为甲、乙两个投篮机器人测试成绩的平均数相同，中位数相同，但甲的方差小于乙的方差，说明甲投篮机器人的成绩更稳定。（注：答案不唯一，合理即可）

18.（9分）

保持"一尺、一拳、一寸"的正确书写姿势能有效预防近视。小文发现，一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺。这本书的长度和小文的一拳长分别是多少尺？

设这本书的长度是 $x$ 尺，小文的一拳长是 $y$ 尺。

根据题意，得：

\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x - 3y = 1 \end{cases}

解这个方程组，得：

\begin{cases} x = 0.8 \\ y = 0.2 \end{cases}

答：这本书的长度是 $0.8$ 尺，小文的一拳长是 $0.2$ 尺。

19.（9分）

如图，在 $\square ABCD$ 中，点 $E$ 为边 $BC$ 上一点，连接 $AE$ 。

(1) 请用无刻度的直尺和圆规作 $\angle DCM$ ，使 $\angle DCM = \angle BAE$ ，且射线 $CM$ 交边 $AD$ 于点 $F$ （保留作图痕迹，不写作法）。

(2) 判断线段 $BE$ 与 (1) 中得到的线段 $DF$ 的数量关系，并给出证明。

(1) 正确作图即可。

(2) $BE = DF$

方法1：

$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，

$\therefore AB = CD$ ， $\angle B = \angle D$ 。

由作图可知， $\angle BAE = \angle DCF$ 。

$\therefore \triangle ABE \cong \triangle CDF$ 。

$\therefore BE = DF$ 。

方法2：

$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，

$\therefore AD \parallel BC$ ， $\angle BAD = \angle BCD$ ， $AD = BC$ 。

$\angle BEA = \angle EAF$ 。

由作图可知， $\angle DCF = \angle BAE$ 。

$\therefore \angle EAF = \angle ECF$ 。

$\therefore \angle BEA = \angle ECF$ 。

$\therefore AE \parallel CF$ 。

又 $\because AD \parallel BC$ ，

$\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形。

$\therefore CE = AF$ 。

$\because BC = AD$ ，

$\therefore BE = DF$ 。

20.（9分）

今年是红军长征胜利90周年，某校学生上午8:00从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动。学生步行的平均速度 $v$ （km/h）与步行全程所用时间 $t$ （h）的函数关系为反比例函数。

(1) 求 $v$ 关于 $t$ 的函数表达式。

(2) 如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过 $2.5\,\text{h}$ ，那么学生步行的平均速度至少为多少？

(3) 学生出发 $0.25\,\text{h}$ 后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场。下列三个说法：

① 李老师在补给点停留的时间为 $1\,\text{h}$ ；

② 李老师比学生先到达长征纪念广场；

③ 学生从学校到补给点所走路程为 $4\,\text{km}$ 。

其中正确说法的序号是________。

(1) 由题意知， $v$ 是 $t$ 的反比例函数，当 $t = 4$ 时， $v = 2$ 。

\therefore\; v = \dfrac{8}{t}

(2) 把 $t = 2.5$ 代入 $v = \dfrac{8}{t}$ ，得 $v = 3.2\;(\text{km/h})$ 。

对于函数 $v = \dfrac{8}{t}$ ，当 $t > 0$ 时， $t$ 越小， $v$ 越大。

$\therefore$ 学生步行的平均速度 $v$ 至少为 $3.2\;\text{km/h}$ 。

(3) ②③

21.（9分）

某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造。某数学兴趣小组开展了综合与实践活动。

采集信息：

点 $C$ 、 $B$ 、 $D$ 在同一水平线上，点 $E$ 、 $A$ 、 $F$ 在同一水平线上， $CD \parallel EF$ 。
斜坡 $AB$ 的长为 $10\,\text{m}$ ， $\angle BAF = 26.4°$ 。
车库限高 $2.7\,\text{m}$ 。

设计方案： 保持点 $A$ 不动，将点 $B$ 沿射线 $BD$ 平移到点 $B'$ ，使 $\angle B'AF = 18.4°$ 。

任务一： 求 $BB'$ 的长。

任务二： 调整限高。经计算，点 $C$ 到斜坡 $AB'$ 的距离约为 $3.47\,\text{m}$ 。在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为________ $\text{m}$ 。（结果均保留一位小数）

参考数据： $\sin 26.4° \approx 0.44$ ， $\cos 26.4° \approx 0.90$ ， $\tan 26.4° \approx 0.50$ ， $\sin 18.4° \approx 0.32$ ， $\cos 18.4° \approx 0.95$ ， $\tan 18.4° \approx 0.33$ 。

任务一：

过点 $A$ 作 $AH \perp CD$ ，垂足为点 $H$ 。

由题意知， $\angle ABH = \angle BAF = 26.4°$ ， $\angle AB'H = \angle B'AF = 18.4°$ 。

在 $\text{Rt}\triangle ABH$ 中：

AH = AB \sin\angle ABH = 10\sin 26.4° \approx 4.4

BH = AB\cos\angle ABH = 10\cos 26.4° \approx 9.0

在 $\text{Rt}\triangle AB'H$ 中：

B'H = \dfrac{AH}{\tan\angle AB'H} \approx \dfrac{4.4}{\tan 18.4°} \approx 13.33

BB' = B'H - BH \approx 4.3

$\therefore\; BB'$ 的长约为 $4.3\,\text{m}$ 。

任务二： $3.4$

22.（10分）

定义： 若点 $P$ 、 $Q$ 在同一抛物线上，且点 $Q$ 的横坐标比点 $P$ 的横坐标大3，则称点 $Q$ 是点 $P$ 的"黄金搭档点"。例如，抛物线 $y = x^2$ 上，点 $(3,9)$ 是点 $(0,0)$ 的"黄金搭档点"。

(1) 点 $A(0,-3)$ 和点 $B$ 在抛物线 $y = x^2 + bx + c$ 上，点 $B$ 是点 $A$ 的"黄金搭档点"，且点 $B$ 的纵坐标为 $12$ 。求 $b$ 、 $c$ 的值。

(2) 点 $M$ 、 $N$ 在 (1) 中的抛物线上，且点 $N$ 是点 $M$ 的"黄金搭档点"。

① 若点 $M$ 、 $N$ 的纵坐标相等，求点 $M$ 、 $N$ 的横坐标。

② 抛物线上 $M$ 、 $N$ 两点之间的部分（含 $M$ 、 $N$ 两点）记为图象 $W$ ，设点 $M$ 的横坐标为 $m$ ，当 $-\dfrac{5}{2} < m < 0$ 时，若图象 $W$ 上的最高点和最低点到 $x$ 轴的距离之和为 $5$ ，请直接写出 $m$ 的值。

(1)

$\because$ 点 $A(0,-3)$ 在抛物线 $y = x^2 + bx + c$ 上，

$\therefore\; c = -3$ 。

由题意知，点 $B$ 的坐标为 $(3, 12)$ 。

$\therefore\; 9 + 3b - 3 = 12$ ，解得 $b = 2$ 。

(2) ①

由 (1) 知，抛物线的表达式为 $y = x^2 + 2x - 3$ 。

方法1： 设点 $M$ 的横坐标为 $t$ ，则点 $N$ 的横坐标为 $t + 3$ 。

$\because$ 点 $M$ 、 $N$ 的纵坐标相等，

$\therefore\; t^2 + 2t - 3 = (t+3)^2 + 2(t+3) - 3$

解得 $t = -\dfrac{5}{2}$ ， $\therefore\; t + 3 = \dfrac{1}{2}$ 。

方法2： 抛物线的对称轴为直线 $x = -1$ 。 $\because$ 点 $M$ 、 $N$ 的纵坐标相等， $MN = 3$ ，且关于对称轴对称，

$\therefore$ 点 $M$ 的横坐标为 $-1 - \dfrac{3}{2} = -\dfrac{5}{2}$ ，点 $N$ 的横坐标为 $-1 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}$ 。

② $m = -4 + \sqrt{3}$ 或 $m = -4 + \sqrt{5}$

23.（10分）

在菱形 $ABCD$ 中， $\angle BAD = 120°$ ， $AB = 4$ 。将边 $AB$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $AE$ ，记旋转角为 $\alpha$ 。作射线 $DE$ ，在射线 $DE$ 上取一点 $H$ ，使 $BH = BE$ ，连接 $CH$ 。

(1) 观察猜想： 当 $\alpha = 30°$ 时， $\angle BEH$ 的度数为________， $CH$ 的长为________。

(2) 探究证明： 当 $0° < \alpha < 120°$ 时，(1) 中的两个结论是否仍然成立？若成立，仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由。

(3) 拓展延伸： 当 $0° < \alpha < 120°$ 时，若 $\triangle DCH$ 的面积为 $4\sqrt{2}$ ，请直接写出此时旋转角 $\alpha$ 的度数。

(1) $60°$ ， $4$

(2) 两个结论仍然成立。

证明：

$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形， $\angle BAD = 120°$ ， $AB = 4$ ，

$\therefore\; AB = AD = BC = 4$ ， $AD \parallel BC$ 。

$\therefore\; \angle ABC = 180° - \angle BAD = 60°$ 。

$\because\; AB = AE$ ，

$\therefore\; AD = AE = AB$ 。

$\because\; \angle BAE = \alpha$ ，

$\therefore\; \angle AEB = 90° - \dfrac{\alpha}{2}$ ， $\angle AED = \dfrac{1}{2}\left[180° - (120° - \alpha)\right] = 30° + \dfrac{\alpha}{2}$ 。

$\therefore\; \angle BEH = 180° - \angle AEB - \angle AED = 60°$ 。

$\because\; BE = BH$ ，

$\therefore\; \triangle BEH$ 为等边三角形。

$\therefore\; \angle EBH = 60°$ 。

$\therefore\; \angle ABC = \angle EBH$ ，即 $\angle ABE = \angle CBH$ 。

$\because\; BE = BH$ ， $AB = CB$ ，

$\therefore\; \triangle ABE \cong \triangle CBH$ 。

$\therefore\; AE = CH$ 。

$\therefore\; CH = 4$ 。

(3) $\alpha = 15°$ 或 $\alpha = 105°$